分析 (Ⅰ)根据题目中的公式,计算A${\;}_{-9}^{3}$的值即可;
(Ⅱ)性质可推广,写出推广的形式是$A_x^m$$+mA_x^{m-1}$=$A_{x+1}^m$(x∈R,m∈N*),再证明即可:
(Ⅲ)化简f(x),构造函数g(x),由f(x)零点的个数转化为求g(x)与y=m交点的个数即可.
解答 解:(Ⅰ)根据题意,得;
$A_{-9}^3=-9×(-10)×(-11)=-990$;…(2分)
(Ⅱ)性质可推广,推广的形式是$A_x^m$$+mA_x^{m-1}$=$A_{x+1}^m$(x∈R,m∈N*); …(4分)
证明:当m=1时,左边=$A_x^1+A_x^0=x+1=A_{x+1}^1$=右边,等式成立;
当m≥2时,左边=x(x-1)…(x-m+1)+mx(x-1)…(x-m+2)
=x(x-1)…(x-m+2)(x-m+1+m)
=(x+1)x(x-1)…(x-m+2)
=(x+1)x(x-1)…[(x+1)-m+1)]
=$A_{x+1}^m$=右边;
因此,$A_x^m$$+mA_x^{m-1}$=$A_{x+1}^m$(x∈R,m∈N*)成立;…(7分)
(Ⅲ)$f(x)=A_x^3-4lnx-m=x(x-1)(x-2)-4lnx-m={x^3}-3{x^2}+2x-4lnx-m$
设函数g(x)=x3-3x2+2x-4lnx,g(x)的定义域为(0,+∞),…(8分)
则函数f(x)零点的个数等价于函数g(x)与y=m公共点的个数;${g^'}(x)=3{x^2}-6x+2-\frac{4}{x}=\frac{{3{x^3}-6{x^2}+2x-4}}{x}=\frac{{3{x^2}(x-2)+2(x-2)}}{x}=\frac{{(x-2)(3{x^2}+2)}}{x}$,
令g′(x)=0,得x=2,所以g(x)在(0,2)上单减,在(2,+∞)上单增;
故g(x)的最小值为g(2)=-4ln2;…(10分)
∴当m<-4ln2时,函数g(x)与y=m没有公共点,即函数f(x)不存在零点,
当m=-4ln2时,函数g(x)与y=m有一个公共点,即函数f(x)有且只有一个零点,
当m>-4ln2时,函数g(x)与y=m有两个公共点,即函数f(x)有且只有两个零点.
…(12分)
点评 本题考查了新定义的应用问题,也考查了函数的性质与应用问题,考查了导数的综合应用问题,考查了排列数的应用问题,是综合性问题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 若向量$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$,则存在唯一实数λ使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{b}$ | |
B. | “若θ=$\frac{π}{3}$,则cosθ=$\frac{1}{2}$”的否命题为“若θ≠$\frac{π}{3}$,则cosθ≠$\frac{1}{2}$” | |
C. | 已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$为非零向量,则“$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角”的充要条件是“$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$<0” | |
D. | 若命题p:?x∈R,x2-x+1<0,则¬p:?x∈R,x2-x+1>0 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | y=±2x | B. | y=±x | C. | y=±$\sqrt{3}$x | D. | y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{4}{3}$ | B. | $\frac{8}{3}$ | C. | 2 | D. | 4 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -1 | B. | 1 | C. | 3 | D. | 0或3 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{f(m)}{m}<\frac{f(n)}{n}$ | B. | $\frac{f(m)}{m}>\frac{f(n)}{n}$ | C. | $\frac{f(m)}{n}>\frac{3f(n)}{m}$ | D. | $\frac{f(m)}{n}<\frac{f(n)}{m}$ |
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