Question

18．规定$A_x^m=x（x-1）…（x-m+1）$，其中x∈R，m为正整数，且$A_x^0$=1，这是排列数A${\;}_{n}^{m}$（n，m是正整数，n≤m）的一种推广．
（Ⅰ） 求A${\;}_{-9}^{3}$的值；
（Ⅱ）排列数的性质：A${\;}_{n}^{m}$+mA${\;}_{n}^{m-1}$=A${\;}_{n+1}^{m}$（其中m，n是正整数）．是否都能推广到A${\;}_{x}^{m}$（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（Ⅲ）已知函数f（x）=A${\;}_{x}^{3}$-4lnx-m，试讨论函数f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题目中的公式，计算A${\;}_{-9}^{3}$的值即可；
（Ⅱ）性质可推广，写出推广的形式是$A_x^m$$+mA_x^{m-1}$=$A_{x+1}^m$（x∈R，m∈N^*），再证明即可：
（Ⅲ）化简f（x），构造函数g（x），由f（x）零点的个数转化为求g（x）与y=m交点的个数即可．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，得；
$A_{-9}^3=-9×（-10）×（-11）=-990$；…（2分）
（Ⅱ）性质可推广，推广的形式是$A_x^m$$+mA_x^{m-1}$=$A_{x+1}^m$（x∈R，m∈N^*）；  …（4分）
证明：当m=1时，左边=$A_x^1+A_x^0=x+1=A_{x+1}^1$=右边，等式成立；
当m≥2时，左边=x（x-1）…（x-m+1）+mx（x-1）…（x-m+2）
=x（x-1）…（x-m+2）（x-m+1+m）
=（x+1）x（x-1）…（x-m+2）
=（x+1）x（x-1）…[（x+1）-m+1）]
=$A_{x+1}^m$=右边；
因此，$A_x^m$$+mA_x^{m-1}$=$A_{x+1}^m$（x∈R，m∈N^*）成立；…（7分）
（Ⅲ）$f（x）=A_x^3-4lnx-m=x（x-1）（x-2）-4lnx-m={x^3}-3{x^2}+2x-4lnx-m$
设函数g（x）=x³-3x²+2x-4lnx，g（x）的定义域为（0，+∞），…（8分）
则函数f（x）零点的个数等价于函数g（x）与y=m公共点的个数；${g^'}（x）=3{x^2}-6x+2-\frac{4}{x}=\frac{{3{x^3}-6{x^2}+2x-4}}{x}=\frac{{3{x^2}（x-2）+2（x-2）}}{x}=\frac{{（x-2）（3{x^2}+2）}}{x}$，
令g′（x）=0，得x=2，所以g（x）在（0，2）上单减，在（2，+∞）上单增；
故g（x）的最小值为g（2）=-4ln2；…（10分）
∴当m＜-4ln2时，函数g（x）与y=m没有公共点，即函数f（x）不存在零点，
当m=-4ln2时，函数g（x）与y=m有一个公共点，即函数f（x）有且只有一个零点，
当m＞-4ln2时，函数g（x）与y=m有两个公共点，即函数f（x）有且只有两个零点．
…（12分）

点评 本题考查了新定义的应用问题，也考查了函数的性质与应用问题，考查了导数的综合应用问题，考查了排列数的应用问题，是综合性问题．