Question

17．已知三棱锥A-BCD中，AB=AC=3，BD=CD=$\sqrt{2}$点E为BC的中点，点A在平面BCD内的投影恰好为DE的中点，则此三棱锥外接球的表面积为$\frac{60π}{11}$．

Answer 1

分析 设点A在平面BCD内的投影点为点M，可知△BCD为直角三角形，则三棱锥的外接球球心一定在过点E且垂直于平面BCD的直线上，设球心为O．单独看平面AED，如图乙，故AO=DO=R，OE=$\sqrt{{R}^{2}-1}，AF=\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{4}}$，又EO+AF=FM+AF=AM=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，即$\sqrt{{R}^{2}-1}+\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2}$，解得R即可

解答 解：如图5甲所示，因为AB=AC=BC=2，∴AE=$\sqrt{3}$．
设点A在平面BCD内的投影点为点M，∵BC=2，BD=CD=$\sqrt{2}$，故△BCD为直角三角形，
∵BE=$\frac{1}{2}BC$，M为中点，∴DM=ME=$\frac{1}{2}$，故AM=$\sqrt{3-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2}$．
又因为△BCD为直角三角形，则三棱锥的外接球球心一定在过点E且垂直于平面BCD的直线上，
设球心为O．单独看平面AED，如图乙，故AO=DO=R，OE=$\sqrt{{R}^{2}-1}，AF=\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{4}}$，
又EO+AF=FM+AF=AM=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，即$\sqrt{{R}^{2}-1}+\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2}$，解得R${R}^{2}=\frac{15}{11}$，
故表面积S=4$π{R}^{2}=\frac{60π}{11}$．
故答案为：$\frac{60π}{11}$

点评 本题考查球的表面积球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，解答的关键是根据球的性质，找到球心，求出半径，属于中档题．