【题目】以下命题:
①若x≠1或y≠2,则x+y≠3;
②若空间向量 , 与空间中任一向量都不能组成空间的一组基底,则 与 共线;
③命题“x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“x∈R,均有x2+x+1<0”;
④若A、B为两个定点,K为正常数,若|PA|+|PB|=K,则动点P的轨迹是椭圆;
⑤已知抛物线y2=2px,以过焦点的一条弦AB为直径作圆,则此圆与准线相切.
其中真命题有( )个.
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B
【解析】解:①若x≠1或y≠2,则x+y≠3得逆否命题为若x+y=3,则x=1且y=2,当x=3,y=0时,x=1且y=2不成立,即逆否命题为假命题,则原命题为假命题;故①错误,
②若空间向量 与空间中任一向量都不能组成空间的一组基底,则 与 共线,故②正确;
③命题“x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“x∈R,均有x2+x+1≤0”;故③错误,
④,若A、B为两个定点,K为正常数,若|PA|+|PB|=K>|AB|,则动点P的轨迹是椭圆,
若|PA|+|PB|=K=|AB|,则动点P的轨迹是线段,故④错误;
⑤取AB的中点M,分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN,垂足分别为P、Q、N,如图所示:
由抛物线的定义可知,|AP|=|AF|,|BQ|=|BF|,
在直角梯形APQB中,|MN|= (|AP|+|BQ|)= (|AF|+|BF|)= |AB|,
故圆心M到准线的距离等于半径,
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,故⑤正确;
故真命题为:②⑤,
故选:B
【考点精析】关于本题考查的命题的真假判断与应用,需要了解两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系才能得出正确答案.
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【题目】空间四点A、B、C、D满足| |=3,| |=7,| |=11,| |=9,则 的取值为( )
A.只有一个
B.有二个
C.有四个
D.有无穷多个
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【题目】已知平面向量 , 满足| |=1,| |=2.
(1)若 与 的夹角θ=120°,求| + |的值;
(2)若(k + )⊥(k ﹣ ),求实数k的值.
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【题目】椭圆 的左右焦点分别为F1 , F2 , 离心率为 ,过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为 ,直线l:y=kx+m与椭圆交于不同的A,B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若在椭圆C上存在点Q满足: (O为坐标原点).求实数λ的取值范围.
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【题目】已知命题p:存在x∈(﹣∞,1)使得x2﹣4x+m=0成立,命题q:方程 表示焦点在x轴上的椭圆.
(1)若p是真命题,求实数m的取值范围;
(2)若p或q是假命题,求实数m的取值范围.
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【题目】设数列{an}满足a1=2, ;数列{bn}的前n项和为Sn , 且 . (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)把数列{an}和{bn}的公共项从小到大排成新数列{cn},试写出c1 , c2 , 并证明{cn}为等比数列.
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【题目】已知等差数列{an}的公差d不等于0,Sn是其前n项和,给出下列命题:
①给定n(n≥2,且n∈N*),对于一切k∈N*(k<n),都有an﹣k+an+k=2an成立;
②存在k∈N* , 使得ak﹣ak+1与a2k+1﹣a2k﹣3同号;
③若d>0.且S3=S8 , 则S5与S6都是数列{Sn}中的最小项
④点(1, ),(2, ),(3, ),…,(n, )(n∈N*),…,在同一条直线上.
其中正确命题的序号是 . (把你认为正确的命题序号都填上)
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【题目】已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[﹣5,5],
(1)当a=﹣1时,求函数的最大值和最小值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调减函数.
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