Question

平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f（n）块区域，有f（1）=2，f（2）=4，f（3）=8，则f（n）=

1. A.
   2ⁿ
2. B.
   n²-n+2
3. C.
   2ⁿ-（n-1）（n-2）（n-3）
4. D.
   n³-5n²+10n-4

Answer 1

B
分析：我们由两个圆相交将平面分为4块区域，三个圆相交将平面分为8块区域，四个圆相交将平面分为14部分，我们进行归纳推理，易得到结论．
解答：∵一个圆将平面分为2块区域，即f（1）=2=1²-1+2，
两个圆相交将平面分为4=2+2块区域，即f（2）=2+2=2²-2+2，
三个圆相交将平面分为8=2+2+4块区域，即f（3）=2+2×3=3²-3+2，
四个圆相交将平面分为14=2+2+4+6块区域，即f（4）=2+3×4=4²-4+2，
…
平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，
则该n个圆分平面区域数f（n）=n²-n+2
故选B．
点评：本题主要考查了归纳推理、进行简单的合情推理．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．