Question

5．△ABC中，满足：$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，M是BC的中点．
（1）若|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，求向量$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$与向量2$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$的夹角的余弦值．
（2）若点P是边BC上一点，|$\overrightarrow{AP}$|=2，且$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$=2，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=1，求|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AP}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB，AC所在直线为x，y轴，建立直角坐标系，由题意不妨设B（1，0），C（0，1），求得向量$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$与向量2$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$的坐标，运用数量积的坐标表示可得夹角的余弦值；
（2）设B（a，0），C（0，b），P（x，y），由|AP|=2，可得x²+y²=4，运用向量数量积的坐标表示，可得ax=1，by=2，运用向量的模的公式和基本不等式可得最小值．

解答 解：（1）以A为原点，AB，AC所在直线为x，y轴，建立直角坐标系，
由题意不妨设B（1，0），C（0，1），
则$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$=（1，0）+（0，2）=（1，2），2$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=（2，0）+（0，1）=（2，1），
即有$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$与2$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$的夹角的余弦值为$\frac{（\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}）•（2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）}{|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}|•|2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1×2+2×1}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$；
（2）设B（a，0），C（0，b），P（x，y），由|AP|=2，可得x²+y²=4，
即有y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$=by=2，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=ax=1，
由x²+y²=4，可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=4，
$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AP}$=（a+x，b+y），即有|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AP}$|=$\sqrt{（a+x）^{2}+（b+y）^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{x}^{2}+{y}^{2}+2ax+2by}$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+4+2+4}$
=$\sqrt{10+{a}^{2}+{b}^{2}}$，
由a²+b²=$\frac{1}{4}$（a²+b²）（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$）=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}$）
≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}}$）=$\frac{9}{4}$．当且仅当b=$\sqrt{2}$a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$取得等号．
即有|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AP}$|=$\sqrt{10+{a}^{2}+{b}^{2}}$的最小值为$\sqrt{10+\frac{9}{4}}$=$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用坐标法的运用，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．