Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是 ，D是AC的中点．
（1）求证：B1C∥平面A1BD；
（2）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；
（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，

∵D为AC中点，∴PD∥B1C．

又∵PD平面A1BD，B1C平面A1BD

∴B1C∥平面A1BD

（2）解：∵正三棱住ABC﹣A1B1C1，

∴AA1⊥底面ABC．

又∵BD⊥AC

∴A1D⊥BD

∴∠A1DA就是二面角A1﹣BD﹣A的平面角．

∵AA1= ，AD= AC=1

∴tan∠A1DA=

∴∠A1DA= ，即二面角A1﹣BD﹣A的大小是

（3）解：由（2）作AM⊥A1D，M为垂足．

∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC

∴BD⊥平面A1ACC1，

∵AM平面A1ACC1，

∴BD⊥AM

∵A1D∩BD=D

∴AM⊥平面A1DB，连接MP，则∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角．

∵AA1= ，AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA= ，

∴AM=1×sin60°= ，AP=AB1= ．

∴sin∠APM=

∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为

【解析】（1）由题意及题中P为AB1中点和D为AC中点，中点这样信息，得到线线PD∥B1C平行，在利用PD平面A1BD线面平行，利用线面平行的判定定理得到线面B1C∥平面A1BD平行；（2）有正三棱柱及二面角平面角的定义，找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小；（3）利用条件及上两问的证题过成找到∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的线面角，然后再三角形中解出即可．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．