Question

7．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=PB=PC=6，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，AC∩BD=E．
（Ⅰ）证明：AC⊥面PDB；
（Ⅱ）在图中作出E点在面PAB的投影F，说明作法及其理由，并求三棱锥D-AEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PB⊥面PAC，从而PB⊥AC，进而AC⊥PE，由此能证明AC⊥面PDB．
（Ⅱ）在面PAC内过E作EF⊥PA于F，则PC⊥面PAB，从而面PAC⊥面PAB，进而EF⊥面PAB，求出D到面PAC的距离等于B到面PAC的距离，由此能求出三棱锥D-AEF的体积．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）因为PB⊥PA，PB⊥PC，PA∩PC=P，所以PB⊥面PAC．（2分）
又因为AC?面PAC，所以PB⊥AC．（3分）
因为E是AC的中点，PA=PC，
所以AC⊥PE．（4分）
又PE∩PB=P，所以AC⊥面PDB．（5分）
解：（Ⅱ）在面PAC内过E作EF⊥PA于F，则点F为点E在面PAB的投影．（6分）
因为PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB=P，所以PC⊥面PAB．（7分）
又PC?面PAC，所以面PAC⊥面PAB．（8分）
又面PAC∩面PAB=PA，EF⊥PA，所以EF⊥面PAB．（9分）
因E为AC的中点，EF∥CP，
所以F是PA的中点，${S_{△AEF}}=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$．（10分）
又因为E是DB的中点，
所以D到面PAC的距离等于B到面PAC的距离6，（11分）
所以三棱锥D-AEF的体积${V_{D-AEF}}=\frac{1}{3}×\frac{9}{2}×6=9$．（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．