Question

如图，在半径为2，圆心角为45°的扇形的AB弧上任取一点P，作扇形的内接平行四边形MNPQ，使点Q在OA上，点M，N在0B上，设∠BOP=θ，?MNPQ的面积为S，求S与θ之间的函数关系式；并求S的最大值及相应的θ值．

Answer 1

解：过P点作PL垂直于OB于L，过Q点作QH垂直于OB于H
则HL=QP=MN，QH=PL
OH=QH×cot∠AOB=QH
OL=OP×cosθ
PL=OP×sinθ
于是
S=PL×MN
=OP×sinθ×（OP×cosθ-OP×sinθ）
=4sinθ×（cosθ-sinθ）
=4[（sin2θ-（1-cos2θ）]
=2（sin2θ+cos2θ-1） （0＜θ＜45°）
则S=2（sin2θ+cos2θ-1）=2[sin（2θ+45°）-1]≤2-2
当S=2-2时，2θ+45°=90°，θ=22.5°
分析：过P点作PL垂直于OB于L，过Q点作QH垂直于OB于H，则可分别表示出OH，OL和PL，代入平行四边形的面积公式中，利用三角函数的二倍角公式和两角和公式化简整理求得S与θ之间的函数关系式，然后利用正弦函数的性质求得S的最大值和相应θ的值．
点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了学生知识的掌握和迁移的能力．