定义在R上的函数及二次函数满足:且.
(1)求和的解析式;
(2)对于,均有成立,求的取值范围;
(3)设,讨论方程的解的个数情况.
(1),;(2)的取值范围为;(3)有5个解.
解析试题分析:(1)根据已知的函数方程,可以得到,联立已知条件的函数方程,即可解得,又由条件二次函数及,可设,再根据,可求得;(2)问题等价于求使,恒成立的的取值范围,即求当,
使成立的的取值范围,通过判断的单调性可知,其在上单调递增,因此只需,由(1)求得的二次函数的解析式,可得只需,即的取值范围为;(3)根据条件及(1),(2)所求得的解析式,可画出的示意图,根据示意图,可以得到方程即等价于或,再从示意图上可得:有2个解, 有个解,因此有个解.
试题解析:(1) ,①
即②
由①②联立解得:. 2分,
是二次函数, 且,可设,
由,解得.∴,
∴, 5分;
(2)设,
,
依题意知:当时,
,在上单调递减,
∴ 7分
∴在上单调递增,,∴
∴解得:,
∴实数的取值范围为. 10分;
由题意,可画出的示意图如图所示:
令,则
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,某人想制造一个支架,它由四根金属杆构成,其底端三点均匀地固定在半径为的圆上(圆在地面上),三点相异且共线,与地面垂直. 现要求点到地面的距离恰为,记用料总长为,设.
(1)试将表示为的函数,并注明定义域;
(2)当的正弦值是多少时,用料最省?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上恒有一个零点,且只有一个零点?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分14分)本题有2个小题,第一小题满分6分,第二小题满分1分.
设常数,函数
(1)若=4,求函数的反函数;
(2)根据的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x+ (x≠0,a∈R).
(1)当a=4时,证明:函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增;
(2)若函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数.为常数且
(1)当时,求;
(2)若满足,但,则称为的二阶周期点.证明函数有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点;
(3)对于(2)中的,设,记的面积为,求在区间上的最大值和最小值。
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
若f (x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=2对称,且当x∈(-2, 2) 时,f (x) =-x2+1. 则当x∈(-6,-2)时,f(x)=_______ .
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