Question

19．如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD=2，E为AD中点，现将△ABE沿BE折起，使平面ABE⊥平面BCDE．
（1）求证：BE⊥AD
（2）若F为AD的中点，求三棱锥B-ACF的体积．

Answer 1

分析 （1）证明BE⊥平面AED，即可证明⊥AD
（2）若F为AD的中点，利用等体积转换，即可求三棱锥B-ACF的体积．

解答 （1）证明：∵AE⊥DE，BE⊥ED，AE∩DE=E
∴BE⊥平面AED，
∵AD?平面AED，
∴BE⊥AD
（2）解：△ABC中，AB⊥BC，AB=2$\sqrt{2}$，BC=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$
∵E到平面ABC的距离为$\sqrt{2}$，F为AD的中点，
∴F到平面ABC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴三棱锥B-ACF的体积=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查三棱锥B-ACF的体积，正确转化是关键．