Question

（2012•蓝山县模拟）为了加快经济的发展，某省选择A、B两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在A、B两城市的周边修建城际轻轨，假设10km为一个单位距离，A、B两城市相距8个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为E，使轻轨E上的点到A、B两市的距离之和为10个单位距离．
（1）建立直角坐标系，求城际轻轨所在曲线E的方程；
（2）若要在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N，使M、N、B三点在一条直线上，并且AM+AN=12个单位距离，求M、N之间的距离有多少个单位距离？
（3）在A、B两城市之间有一条与AB所在直线成45°的笔直公路l，直线l与曲线E交于P，Q两点，求四边形PAQB的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系．设曲线E上点P（x，y），由|PA|+|PB|=10＞|AB|=8，能求出曲线E的方程．
（2）由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，|AM|+|AN|=12，知|MN|=8．
（3）将y=x+t代入

x2

25

+

y2

9

=1，得34y²-18ty+9t²-25×9=0．设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则y₁+y₂=

9t

17

，y₁y₂=

9t2-25×9

34

．由此能求出当t=0时，面积最大是

60

17

34

，此时直线为l：y=x．

解答：解：（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系．
设曲线E上点P（x，y），
∵|PA|+|PB|=10＞|AB|=8
∴动点轨迹为椭圆，
且a=5，c=4，从而b=3．
∴曲线E的方程为

x2

25

+

y2

9

=1．（4分）
（2）∵|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，
|AM|+|AN|=12，
所以|MN|=8．（8分）
（3）将y=x+t代入

x2

25

+

y2

9

=1，
得34y²-18ty+9t²-25×9=0．
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
则y₁+y₂=

9t

17

，y₁y₂=

9t2-25×9

34

．
|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

17

50×9×17-9×25t2

，
S=S_△ABP+S_△ABQ=

1

2

AB•|y₁-y₂|=

8

34

50×9×17-9×25t2

，
所以当t=0时，面积最大是

60

17

34

，
此时直线为l：y=x．（13分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答．