Question

18．已知向量$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sin2x，cos2x）$，$\overrightarrow b=（cos2x，-cos2x）$
（Ⅰ）若$x∈（\frac{7π}{24}，\frac{5π}{12}），\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{1}{2}=-\frac{3}{5}$，求cos4x；
（Ⅱ）若$x∈（{0，\frac{π}{3}}]$且关于x的方程$\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{1}{2}=m$有且仅有一个实数根，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意、向量的数量积运算、二倍角公式化简$\left.\begin{array}{l}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}\end{array}\right.$，代入$\left.\begin{array}{l}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$化简求出$\left.\begin{array}{l}{sin（4x-\frac{π}{6}）}\end{array}\right.$的值，由x的范围和平方关系求出$\left.\begin{array}{l}{cos（4x-\frac{π}{6}）}\end{array}\right.$的值，利用两角和的余弦公式、特殊角的三角函数值求出cos4x；
（Ⅱ）由（I）可得$\left.\begin{array}{l}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，由x的范围求出$4x-\frac{π}{6}$的范围，由正弦函数的图象与性质求出$\left.\begin{array}{l}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的值域，由条件求出m的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\sqrt{3}sin2xcos2x-co{s}^{2}2x$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin4x-\frac{1}{2}cos4x-\frac{1}{2}$=$\left.\begin{array}{l}{sin（4x-\frac{π}{6}）}\end{array}\right.-\frac{1}{2}$，
∴$\left.\begin{array}{l}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}=sin（4x-\frac{π}{6}）}\end{array}\right.$=$-\frac{3}{5}$，
由$x∈（\frac{7π}{24}，\frac{5π}{12}）$得，$4x-\frac{π}{6}∈（π，\frac{3π}{2}）$，
∴$\left.\begin{array}{l}{cos（4x-\frac{π}{6}）=-\sqrt{1-\left.\begin{array}{l}{si{n}^{2}（4x-\frac{π}{6}）}\end{array}\right.}}\end{array}\right.$=$-\frac{4}{5}$，
∴cos4x=cos[（$4x-\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]
=$cos（4x-\frac{π}{6}）cos\frac{π}{6}-sin（4x-\frac{π}{6}）sin\frac{π}{6}$
=$-\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}-（-\frac{3}{5}）×\frac{1}{2}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$；
（Ⅱ）由（I）得，$\left.\begin{array}{l}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}=sin（4x-\frac{π}{6}）}\end{array}\right.$，
$\left.\begin{array}{l}{∵x∈（0，\frac{π}{3}]$，∴$4x-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]}\end{array}\right.$，
∴$\left.\begin{array}{l}{sin（4x-\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，
∵方程$\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{1}{2}=m$有且仅有一个实数根，
∴m=$-\frac{1}{2}$或m=1．

点评 本题考查了两角和的余弦公式，二倍角公式，平方关系，向量的数量积运算，以及正弦函数的性质与图象，考查了方程根转化问题，化简、变形能力．