Question

13．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若b²+c²-a²=bc
（1）求角A的大小；
（2）若$a=\sqrt{3}$，求BC边上的中线AM的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意和余弦定理求出cosA的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；
（2）在ABC中由题意和余弦定理表示出a²，化简后得b²+c²=bc+3，由重要不等式得bc≤3，由余弦定理表示出cosB，在ABM中由余弦定理表示出AM²，化简后可求出AM的最大值．

解答 解：（1）因为b²+c²-a²=bc，
所以cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
由0°＜A＜180°得A=60°；
（2）在ABC中，A=60°，a=$\sqrt{3}$，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
化简得，b²+c²-bc=3，则b²+c²=bc+3，
且b²+c²=bc+3≥2bc，得bc≤3，（当且仅当b=c时取等号）
在ABC中，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
在ABM中，M是BC的中点，由余弦定理得，
AM²=AB²+BM²-2•AB•BM•cosB
=c²+$\frac{{a}^{2}}{4}$-2•c•$\frac{1}{2}a$•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$
=$\frac{{2c}^{2}+2{b}^{2}-{a}^{2}}{4}$=$\frac{2（bc+3）-3}{4}$
=$\frac{2bc+3}{4}≤\frac{9}{4}$，则AM≤$\frac{3}{2}$，
所以中线AM的最大值是$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查余弦定理，以及重要不等式在求最值中的应用，考查化简、变形能力．