【题目】已知且,函数.
(1)求的定义域及其零点;
(2)讨论并用函数单调性定义证明函数在定义域上的单调性;
(3)设,当时,若对任意,存在,使得,求实数的取值范围.
【答案】(1) 定义域为,函数的零点为-1;(2)见解析;(3) .
【解析】试题分析:(1)由题意知求得函数 定义域为,再由,即可求解函数的零点;
(2)根据函数的单调性的定义,即可证明函数的单调性;
(3)由任意,存在,使得成立,得到
由(2)知当时, 在上单调递增,得到函数的最大值为,分三种情况讨论,即可求解实数的取值范围.
试题解析:
(1)由题意知, , ,解得,
所以函数 定义域为.
令,得,解得,故函数的零点为-1;
(2)设, 是内的任意两个不相等的实数,且,则,
∵,∴,即
所以当时, ,故在上单调递减,
当时, ,故在上单调递增.
(3)若对于任意,存在,使得成立,
只需
由(2)知当时, 在上单调递增,则
①当时, , 成立
②当时, 在上单调递增, ,由,解得,∴
③当时, 在上单调递减, ,由,解得,∴
综上,满足条件的的范围是.
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【题目】下列4个命题:
①“若a、G、b成等比数列,则G2=ab”的逆命题;
②“如果x2+x﹣6≥0,则x>2”的否命题;
③在△ABC中,“若A>B”则“sinA>sinB”的逆否命题;
④当0≤α≤π时,若8x2﹣(8sinα)x+cos2α≥0对x∈R恒成立,则α的取值范围是0≤α≤.
其中真命题的序号是________.
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【题目】已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量 =(﹣1, ), =(cosA,sinA).若 ⊥ ,且acosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小分别为( )
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
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【题目】如图,在四棱锥中,平面,底面是直角梯形,,,,是上的点.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)若是的中点,且二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】已知关于x的不等式mx2+2x+6m>0,在下列条件下分别求m的值或取值范围:
(1)不等式的解集为{x|2<x<3};
(2)不等式的解集为R.
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【题目】从向阳小区抽取100户居民进行月用电量调查,为制定阶梯电价提供数据,发现其用电量都在50到350度之间,制作频率分布直方图的工作人员粗心大意,位置t处未标明数据,你认为t=( )
A.0.0041
B.0.0042
C.0.0043
D.0.0044
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【题目】定义在上的函数为增函数,对任意都有(为常数)
(1)判断为何值时,为奇函数,并证明;
(2)设,是上的增函数,且,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
(3)若,,为的前项和,求正整数,使得对任意均有.
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