Question

已知函数f（x）=2^x+a•2^-|x|（a∈R）满足f(log2(1+

2

))=2．若存在x₀∈[1，2]使得不等式2^xf（2x）+mf（x）≥0成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、[-5，+∞）
• B、[-

  257

  17

  ，+∞）
• C、（-∞，-17]
• D、（-∞，-15]

Answer 1

分析：先由f(log2(1+

2

))=2解出a=1得 f（x）=2^x+2^-|x|，代入不等式2^xf（2x）+mf（x）≥0，由于存在x₀∈[1，2]使不等式成立，故整理得-m≤

24x+1

22x+1

，让-m小于等于

24x+1

22x+1

在∈[1，2]上的最大值即可解出实数m的取值范围．

解答：解：由题设函数f（x）=2^x+a•2^-|x|（a∈R）满足f(log2(1+

2

))=2．
得2log2(1+

2

)+a×2-|log2(1+

2

)|=2    ①
∵log2(1+

2

)＞0
∴①式可变为1+

2

+a×

1

1+ 2

=1+

2

+a（

2

-1）=2
故有1-a+

2

（1+a）=2，a（

2

-1）=1-

2

，解得a=-1
所以   f（x）=2^x+2^-|x|
当存在x₀∈[1，2]时，使不等式2^xf（2x）+mf（x）≥0恒成立，即2^3x+2^-x+m（2^x+2^-x）≥0成立，
即2^4x+1+m（2^2x+1）≥0成立，即-m≤

24x+1

22x+1

=2^2x+1-2+

2

22x+1

≤

257

17

故m≥-

257

17

故应选B．

点评：本题考点是指数函数的综合题，考查复杂指数式的恒等变形与复杂指数方程的变形，运算量较大，由于本题最后解决的是存在性的问题，要区分开其与恒成立问题的区别．