分析 (1)求出函数的导数,求得切线的斜率,可得直线m的方程,利用点F到直线m的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,求a的值;
(2)求出P的坐标,利用等比数列的性质,即可得出结论.
解答 解:函数f(x)=ax2的导数为f′(x)=2ax,
即有在点A(1,f(1))处的切线斜率为k=2a,
∴直线m的方程为y-a=2a(x-1),即2ax-y-a=0,
∵点F(0,$\frac{1}{4a}$),F到直线m的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$\frac{|-\frac{1}{4a}-a|}{\sqrt{4{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵a>0,
∴a=$\frac{1}{2}$;
(2)设B(x0,y0),则直线n的方程为y-y0=x0(x-x0),即x0x-y-$\frac{1}{2}$x02=0,
与x-y-$\frac{1}{2}$=0联立,可得x=$\frac{1}{2}$(1+x0),y=$\frac{1}{2}$x0,
∵线段AF,PF,BF的长构成等比数列,
∴$\frac{1}{4}$(1+x0)2+($\frac{1}{2}$x0-$\frac{1}{2}$)2=($\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$)(y0+$\frac{1}{2}$),
∴$\frac{1}{4}$(2+2x02)=$\frac{1}{2}$x02+$\frac{1}{2}$成立,
∴线段AF,PF,BF的长构成等比数列.
点评 本题考查导数的运用:求切线的斜率,同时考查数列等比数列的判定,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{3}$ | B. | 2或-$\sqrt{3}$ | C. | $\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$ | D. | 2或-$\sqrt{3}$或-$\frac{7}{4}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-∞,-1) | B. | (-∞,e-3) | C. | (-1,+∞) | D. | (e-3,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 最小正周期为$\frac{π}{2}$,值域为[0,$\sqrt{2}$] | B. | 最小正周期为$\frac{π}{2}$,值域为[1,$\sqrt{2}$] | ||
C. | 最小正周期为π,值域为[1,$\sqrt{2}$] | D. | 最小正周期为π,值域为[0,$\sqrt{2}$] |
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