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3.已知数列{bn}满足b1=$\frac{3}{10}$,bn+1=1-$\frac{1}{4{b}_{n}}$(n∈N*),设an=$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)数列{a${\;}_{{c}_{n}}$}为等比数列,且c1=5,c2=8,若对任意的n∈N*都有k(2cn-7)<an成立,求实数k的取值范围.

分析 (1)通过b1=$\frac{3}{10}$、bn+1=1-$\frac{1}{4{b}_{n}}$(n∈N*)、an=$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$,计算an+1-an即可;
(2)通过b1=$\frac{3}{10}$、an=$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$可得a1=5,利用(1)可得an=7-2n,通过c1=5、c2=8可得${a}_{{c}_{n}}$=-3n,进而有cn=$\frac{{3}^{n}+7}{2}$,考查dn=$\frac{7-2n}{{3}^{n}}$的最小值即可.

解答 (1)证明:∵b1=$\frac{3}{10}$,bn+1=1-$\frac{1}{4{b}_{n}}$(n∈N*),an=$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$,
∴an+1-an=$\frac{2}{1-2{b}_{n+1}}$-$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$
=$\frac{2}{1-2(1-\frac{1}{4{b}_{n}})}$-$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$
=2•$\frac{1}{-1+\frac{1}{2{b}_{n}}}$-$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$
=$\frac{4{b}_{n}}{1-2{b}_{n}}$-$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$
=-2,
∴数列{an}是等差数列;
(2)解:∵b1=$\frac{3}{10}$,an=$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$,
∴a1=$\frac{2}{1-2{b}_{1}}$=$\frac{2}{1-2×\frac{3}{10}}$=5,
又∵数列{an}是公差为-2的等差数列,
∴an=a1+(n-1)d=5+(n-1)(-2)=7-2n,
∵数列{${a}_{{c}_{n}}$}为等比数列,且c1=5,c2=8,
∴数列{${a}_{{c}_{n}}$}的公比q=$\frac{{a}_{8}}{{a}_{5}}$=$\frac{7-2×8}{7-2×5}$=3,
又∵首项${a}_{{c}_{1}}$=a5=-3,
∴${a}_{{c}_{n}}$=(-3)•3n-1=-3n
同时又an=7-2n,
∴-3n=7-2cn,即cn=$\frac{{3}^{n}+7}{2}$,
由题对任意的n∈N*都有k(2cn-7)<an成立,
即对任意的n∈N*都有k<$\frac{7-2n}{{3}^{n}}$成立,
令dn=$\frac{7-2n}{{3}^{n}}$,则dn-dn-1=$\frac{7-2n}{{3}^{n}}$-$\frac{7-2(n-1)}{{3}^{n-1}}$=$\frac{4n-20}{{3}^{n}}$,
显然当n<4时dn<dn-1;当n>5时dn>dn-1
∴当n=4或n=5时,(dnmin=d4=d5=-$\frac{1}{81}$,
∴实数k的取值范围为:k<-$\frac{1}{81}$.

点评 本题考查判断数列为等差数列,考查数列的单调性,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

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