Question

3．已知数列{b_n}满足b₁=$\frac{3}{10}$，b_n+1=1-$\frac{1}{4{b}_{n}}$（n∈N^*），设a_n=$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）数列{a${\;}_{{c}_{n}}$}为等比数列，且c₁=5，c₂=8，若对任意的n∈N^*都有k（2c_n-7）＜a_n成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过b₁=$\frac{3}{10}$、b_n+1=1-$\frac{1}{4{b}_{n}}$（n∈N^*）、a_n=$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$，计算a_n+1-a_n即可；
（2）通过b₁=$\frac{3}{10}$、a_n=$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$可得a₁=5，利用（1）可得a_n=7-2n，通过c₁=5、c₂=8可得${a}_{{c}_{n}}$=-3ⁿ，进而有c_n=$\frac{{3}^{n}+7}{2}$，考查d_n=$\frac{7-2n}{{3}^{n}}$的最小值即可．

解答 （1）证明：∵b₁=$\frac{3}{10}$，b_n+1=1-$\frac{1}{4{b}_{n}}$（n∈N^*），a_n=$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{2}{1-2{b}_{n+1}}$-$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$
=$\frac{2}{1-2（1-\frac{1}{4{b}_{n}}）}$-$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$
=2•$\frac{1}{-1+\frac{1}{2{b}_{n}}}$-$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$
=$\frac{4{b}_{n}}{1-2{b}_{n}}$-$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$
=-2，
∴数列{a_n}是等差数列；
（2）解：∵b₁=$\frac{3}{10}$，a_n=$\frac{2}{1-2{b}_{n}}$，
∴a₁=$\frac{2}{1-2{b}_{1}}$=$\frac{2}{1-2×\frac{3}{10}}$=5，
又∵数列{a_n}是公差为-2的等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）d=5+（n-1）（-2）=7-2n，
∵数列{${a}_{{c}_{n}}$}为等比数列，且c₁=5，c₂=8，
∴数列{${a}_{{c}_{n}}$}的公比q=$\frac{{a}_{8}}{{a}_{5}}$=$\frac{7-2×8}{7-2×5}$=3，
又∵首项${a}_{{c}_{1}}$=a₅=-3，
∴${a}_{{c}_{n}}$=（-3）•3^n-1=-3ⁿ，
同时又a_n=7-2n，
∴-3ⁿ=7-2c_n，即c_n=$\frac{{3}^{n}+7}{2}$，
由题对任意的n∈N^*都有k（2c_n-7）＜a_n成立，
即对任意的n∈N^*都有k＜$\frac{7-2n}{{3}^{n}}$成立，
令d_n=$\frac{7-2n}{{3}^{n}}$，则d_n-d_n-1=$\frac{7-2n}{{3}^{n}}$-$\frac{7-2（n-1）}{{3}^{n-1}}$=$\frac{4n-20}{{3}^{n}}$，
显然当n＜4时d_n＜d_n-1；当n＞5时d_n＞d_n-1；
∴当n=4或n=5时，（d_n）_min=d₄=d₅=-$\frac{1}{81}$，
∴实数k的取值范围为：k＜-$\frac{1}{81}$．

点评 本题考查判断数列为等差数列，考查数列的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．