Question

如图，在 Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜边AB=4，D是AB的中点．现将 Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥体，点C为圆锥体底面圆周上的一点，且∠BOC=90°．
（1）求异面直线AO与CD所成角的大小；
（2）若某动点在圆锥体侧面上运动，试求该动点从点C出发运动到点D所经过的最短距离．

Answer 1

分析：（1）解法一：设OB中点为E，连接CE、DE，则设异面直线AO与CD所成角即为∠CDE，然后在直角三角形CDE中求出此角即可．
解法二：以OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，然后求出异面直线AO与CD的方向向量，最后根据向量的夹角公式cosθ=

| OA • CD |

| OA |•| CD |

进行计算即可求出所求；
（2）由条件，底面圆周长为2π•OB=4π，母线长AB=4，从而求出该圆锥体侧面展开图的扇形圆心角大小，展开图恰好为一个半圆，此时CD的长即为所求，利用余弦定理解之即可．

解答：解：（1）解法一：设OB中点为E，连接CE、DE，则设异面直线AO与CD所成角即为∠CDE．
由DE∥AO，所以DE⊥底面COB，于是DE⊥CE．
又DE=

1

2

AO=

3

，CE=

CO2+EO2

=

5

，∴tan∠CDE=

15

3

．
即异面直线AO与CD所成角的大小为arctan

15

3

．
解法二：以OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A(0，0，2

3

)，C（2，0，0），D(0，1，

3

)，∴

OA

=(0，0，2

3

)，

CD

=(-2，1，

3

)，设异面直线AO与CD所成角为θ，则cosθ=

| OA • CD |

| OA |•| CD |

=

6

2 3 •2 2

=

6

4

．∴异面直线AO与CD所成角的大小为arccos

6

4

．
（2）由条件，底面圆周长为2π•OB=4π，母线长AB=4．故该圆锥体侧面展开图的扇形圆心角大小为θ=

2πr

l

=

4π

4

=π，即展开图恰好为一个半圆．由条件∠BOC=

π

2

，故展开图中，∠CAB=

π

4

，此时CD的长即为所求．由余弦定理，CD2=CA2+AD2-2CA•AD•cos45°=20-8

2

，故从点C出发在圆锥体表面运动到点D的最短距离为2

5-2 2

．

点评：本题主要考查了两异面直线所成角，以及旋转体表面上的最短距离问题，属于中档题．