Question

设M是由满足下列条件的函数f(X)构成的集合：
①方程有实数根；
②函数的导数 (满足”
(I )若函数为集合M中的任一元素，试证明万程只有一个实根_；
(II)   判断函^是否是集合M中的元素，并说明理由；
(III)  “对于（II)中函数定义域内的任一区间，都存在，使得”，请利用函数的图象说明这一结论.

Answer 1

（Ⅰ）令，则，即在区间上单调递减
所以，使，即成立的至多有一解，┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
又由题设①知方程有实数根，
所以，方程只有一个实数根；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
（Ⅱ）由题意易知，，满足条件②┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
令，
则，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
又在区间上连续，所以在上存在零点，
即方程有实数根，故满足条件①，
综上可知，；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，
而，
所以原式等价于，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分
该等式说明函数上任意两点和的连线段 （如图所示），在曲线上都一定存在一点，使得该点 处的切线平行于，根据图象知该等式一定成立.

略