Question

已知数列{a_n}，a_n=，其中α，β是方程x²-x-1=0的两个根．
（1）证明：对任意正整数n，都有a_n+2=a_n+1+a_n；
（2）若数列{a_n}中的项都是正整数，试证明：任意相邻两项的最大公约数均为1；
（3）若β＜α，b_n=，n=1，2，…，证明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用α，β是方程x²-x-1=0的两个根，作差a_n+2-（a_n+1+a_n），可得结论；
（2）由（1）与更相减损术可得：对任意正整数n，（a_n+2，a_n+1）=（a_n+1+a_n，a_n+1）=（a_n，a_n+1），由此可得结论；（3）由α，β是方程x²-x-1=0的两个根且β＜α，结合aⁿ-bⁿ=（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…b^n-1），利用放缩法，即可证得结论．
解答：（1）证明：∵α，β是方程x²-x-1=0的两个根，
∴α²-α-1=0，β²-β-1=0
∴对任意正整数n，a_n+2-（a_n+1+a_n）==0
∴a_n+2=a_n+1+a_n；
（2）解：由（1）与更相减损术可得：对任意正整数n，（a_n+2，a_n+1）=（a_n+1+a_n，a_n+1）=（a_n，a_n+1），
∴（a_n，a_n+1）=（a₂，a₁）=（a₂，1）=1，
∴任意相邻两项的最大公约数均为1；
故命题成立；
（3）解：∵α，β是方程x²-x-1=0的两个根且β＜α，
∴由aⁿ-bⁿ=（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…b^n-1）可得：b_n==
＜=
∴＜=1+＜=1+=1+1-＜2．
点评：本题考查数列知识，考查数列与不等式的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．