【题目】已知数列是各项都不为0的无穷数列,对任意的n≥3,n, 恒成立.
(1)如果,,成等差数列,求实数的值;
(2)已知=1.①求证:数列是等差数列;②已知数列中,.数列是公比为q的等比数列,满足,,(i).求证:q是整数,且数列中的任意一项都是数列中的项.
【答案】(1)
(2)①见解析②见解析
【解析】
(1)令,可得,两边同除以,可得:,结合,,成等差数列可得:,问题得解。
(2)①在 中,用代可得: ,两式作差可得:,整理得:,再利用数学归纳法证明,假设时, 成等差数列,且公差为,则当时,成立,问题得证。
②数列是等差数列,公差为,即可求得:,即可求得,所以是整数,由,,成等比数列即可求得:,令,整理得:,又,利用二项式定理展开得:,即可求得:,问题得解。
(1)由题可得:当时,
两边同除以,可得:
因为,,成等差数列,所以
所以,解得:
(2)①由题可得:当时, …(Ⅰ)
用代上式中的,可得:
…(Ⅱ)
(Ⅱ)(Ⅰ)得:
上式两边同除以可得:
整理得:
整理得:
(ⅰ)由(1)得,当时,,,成等差数列,结论正确.
(ⅱ)假设时,结论正确。即:成等差数列,且公差为
下证时, 成等差数列.
即证
又
.
所以成立.
由(ⅰ)(ⅱ)可得:对任意的,数列是等差数列.
②由①得:数列是等差数列,公差为
所以,()
又,,成等比数列,
所以,即:
整理得:
所以,所以是整数
数列中的任意一项
令,则
整理得:,整理得:
又
所以
解得:
即:存在,使得:成立
所以数列中的任意一项都是数列中的项.
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【题目】已知向量与向量的对应关系用表示.
(1) 证明:对于任意向量、及常数m、n,恒有;
(2) 证明:对于任意向量,;
(3) 证明:对于任意向量、,若,则.
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【题目】下列说法中, 正确说法的个数是( )
①在用列联表分析两个分类变量与之间的关系时,随机变量的观测值越大,说明“A与B有关系”的可信度越大
②以模型去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设,将其变换后得到线性方程,则,的值分别是和 0.3
③已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为,若,,,则
A.0B.1C.2D.3
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),且曲线上的点对应的参数,以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程和极坐标方程;
(2)若曲线上的两点满足,过作交于点,求证:点在以为圆心的定圆上.
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【题目】某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器.
(1)若该容器的底面半径为6米,求该容器的表面积;
(2)当容器的高为多少米时,制造该容器的侧面用料最省?
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【题目】某班级在一次数学竞赛中为全班学生设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖,各个奖品的单价分别为:一等奖元、二等奖元、三等奖元、参与奖元,获奖人数的分配情况如图,则以下说法不正确的是( ).
A. 获得参与奖的人数最多
B. 各个奖项中参与奖的总费用最高
C. 购买每件奖品费用的平均数为元
D. 购买的三等奖的奖品件数是一、二等奖的奖品件数和的二倍
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【题目】自2016年1月1日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调整,使得“要不要再生一个”,“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据:
产假安排(单位:周) | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
有生育意愿家庭数 | 4 | 8 | 16 | 20 | 26 |
(1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为14周与16周,估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少?
(2)假设从5种不同安排方案中,随机抽取2种不同安排分别作为备选方案,然后由单位根据单位情况自主选择.
①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率;
②如果用表示两种方案休假周数之和.求随机变量的分布列及数学期望.
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【题目】设抛物线的焦点为,过点作垂直于轴的直线与抛物线交于,两点,且以线段为直径的圆过点.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线与抛物线交于,两点,点为曲线:上的动点,求面积的最小值.
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