Question

向量

a

=（2sinx，cosx），

b

=（

3

cosx，2cosx），设函数f（x）=m

a

•

b

+n（其中m＞0，n∈R），函数f（x）在区间[0，

π

4

]上的值域为[2，3]．
（Ⅰ）求m，n的值，并求函数f（x）图象的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若f（A）=2，sinB=3sinC，△ABC的面积为

3 3

4

，求a．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（1）首先由已知向量的运算得到f（x）的解析式，然后化简并求其性质．
（2）由f（A）=1，求得sin（2A+

π

6

）=

1

2

，解得A的值．因为sinB=3sinC，由正弦定理求得b=3c．因为△ABC面积为

3 3

4

，求得bc=3．由此解得b和c的值，再由余弦定理求得a的值．

解答： 解：由已知f（x）=m

a

•

b

+n=m（2

3

sinxcosx+2cos²x）+n=m（

3

sin2x+cos2x+1）+n=2msin（2x+

π

6

）+m+n，
（1）因为函数f（x）在区间[0，

π

4

]上的值域为[2，3]，m＞0．
所以（2x+

π

6

）∈[

π

6

，

2π

3

]，所以3m+n=3，2m+n=2，解得m=1，n=0；
函数f（x）图象的单调递增区间-

π

2

+2kπ＜2x+

π

6

＜

π

2

+2kπ，即-

π

3

+kπ＜x＜

π

3

+kπ，k∈Z；
所以函数f（x）图象的单调递增区间（-

π

3

+kπ，

π

3

+kπ），k∈Z；
（2）f（A）=2，sinB=3sinC，△ABC的面积为

3 3

4

，
所以2sin（2A+

π

6

）+1=2，所以即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，解得A=0（舍去）或A=

π

3

．
因为sinB=3sinC，由

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，所以b=3c．-----①
因为△ABC面积为

3 3

4

，所以S=

1

2

bcsinA，即bc=3．-----②
由①和②解得b=3，c=1．
因为a2=b2+c2-2bc•cosA=32+12-2×3×1×cos

π

3

，
所以a=

7

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简与三角函数的性质，考查余弦定理的运用，正确化简函数是关键．