Question

7．在平面直角坐标系xoy中，A、B、C是圆x²+y²=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，则λ²+（μ-3）²的取值范围是（　　）

• A． [0，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． （8，+∞）

Answer 1

分析 因为A，B，C互异，所以-1＜$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$＜1，由$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，得${λ}^{2}=1+{μ}^{2}-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$，则f（μ）=λ²+（μ-3）²=$1+{μ}^{2}-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+{（μ-3）}^{2}$=$2{μ}^{2}-6μ-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+10$，由此能得到λ²+（μ-3）²的取值范围．

解答 解：因为A，B，C，互异，所以-1＜$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$＜1，
由$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，得${λ}^{2}=1+{μ}^{2}-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$，
则f（μ）=λ²+（μ-3）²=$1+{μ}^{2}-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+{（μ-3）}^{2}$=$2{μ}^{2}-6μ-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+10$＞2μ²-8μ+10≥2．
f（μ）=$2{μ}^{2}-6μ-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+10$＜2μ²-4μ+10，无最大值，
∴λ²+（μ-3）²的取值范围是（2，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查圆的性质和应用以及向量基本定理的应用，综合性较强，有一定的难度．