已知是二次函数,不等式的解集是,且在点处的切线与直线平行.
(1)求的解析式;
(2)是否存在t∈N*,使得方程在区间内有两个不等的实数根?
若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
(1).
(2)存在唯一的自然数,使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根.
【解析】
试题分析:(1)根据是二次函数,及不等式的解集是,
可设,. 再根据函数在切点的斜率就是该点处的导函数值,可建立
方程,解得.
(2)首先由(1)知,方程等价于方程.
构造函数,通过“求导数、求驻点、讨论导数值的正负”明确函数的单调区间,通过计算,
认识方程有实根的情况.
试题解析:(1)∵是二次函数,不等式的解集是,
∴可设,.
∴. 2分
∵函数在点处的切线与直线平行,
∴.
∴,解得.
∴. 5分
(2)由(1)知,方程等价于方程 6分
设,
则. 7分
当时,,函数在上单调递减;
当时,,函数在上单调递增. 9分
∵,
∴方程在区间,内分别有唯一实数根,在区间
内没有实数根. 12分
∴存在唯一的自然数,使得方程
在区间内有且只有两个不等的根. 13分
考点:二次函数,导数的几何意义,应用导数研究函数的单调性.
科目:高中数学 来源: 题型:
已知是二次函数,不等式的解集是且在区间上的最大值是12。
(I)求的解析式;
(II)是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源:2012届宁夏银川一中高三上学期第二次月考理科数学试卷 题型:解答题
(本小题满分12分)已知是二次函数,不等式的解集是且在区间上的最大值是12.
(1)求的解析式;
(2)是否存在整数使得方程在区间内有且只有两个不等的实
数根?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年宁夏高三上学期第二次月考理科数学试卷 题型:解答题
(本小题满分12分)已知是二次函数,不等式的解集是且在区间上的最大值是12.
(1)求的解析式;
(2)是否存在整数使得方程在区间内有且只有两个不等的实
数根?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源:湖南省长沙市2010-2011学年高三年级月考(一)数学试题(理科) 题型:解答题
(本小题满分13分)
已知是二次函数,不等式的解集是(0,5),且在区间[-1,4]上的最大值是12。
(1)求的解析式;
(2)是否存在自然数,使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。
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