Question

15．数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{5}，{a_n}+{a_{n+1}}=\frac{6}{{{5^{n+1}}}}（n∈{N^*}）$，则$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_2}+…+{a_n}）$=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 可以判断出数列{a_n+a_n+1}是以$\frac{6}{{5}^{2}}$为首先，$\frac{1}{5}$为公比的等比数列，从而可以由等比数列的前n项和公式求该数列的前n项和，从而可以得到$\underset{lim}{n→∞}[（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）{{+（a}_{1}+a}_{2}+…+{a}_{n+1}）-{a}_{1}]$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{\frac{6}{{5}^{2}}（1-\frac{1}{{5}^{n}}）}{1-\frac{1}{5}}$，而$\underset{lim}{n→∞}（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）$=$\underset{lim}{n→∞}（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n+1}）$，这样便可求出$\underset{lim}{n→∞}（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）$．

解答 解：根据条件，${a}_{1}+{a}_{2}=\frac{6}{{5}^{2}}$；
∴${a}_{n}+{a}_{n+1}=\frac{6}{{5}^{2}}•（\frac{1}{5}）^{n-1}$；
∴数列{a_n+a_n+1}是以$\frac{6}{{5}^{2}}$为首先，$\frac{1}{5}$为公比的等比数列；
∴$\underset{lim}{n→∞}[（{a}_{1}+{a}_{2}）+（{a}_{2}+{a}_{3}）+…+（{a}_{n}+{a}_{n+1}）]$=$\underset{lim}{n→∞}[{a}_{1}+2（{a}_{2}+{a}_{3}+…+{a}_{n}）+{a}_{n+1}]$
=$\underset{lim}{n→∞}[（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）+（{{a}_{1}+{a}_{2}+…+a}_{n+1}）-{a}_{1}]$
=$2\underset{lim}{n→∞}（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）-\frac{1}{5}$
=$\underset{lim}{n→∞}\frac{\frac{6}{{5}^{2}}（1-\frac{1}{{5}^{n}}）}{1-\frac{1}{5}}=\frac{3}{10}$；
∴$\underset{lim}{n→∞}（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）=\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，以及数列极限的概念及其计算，清楚$\underset{lim}{n→∞}（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）=\underset{lim}{n→∞}（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n+1}）$是本题求解的关键．