Question

21、已知定义域在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，
（1）求f（0）．
（2）判断函数的奇偶性，并证明之．
（3）解不等式f（a²-4）+f（2a+1）＜0．

Answer 1

分析：解决此类问题的关键是利用好条件中的函数性质等式．（1）利用赋值法求f（0）的值；（2）利用赋值法及定义证明函数的奇偶性；（3）利用函数的单调性解不等式．

解答：解：（1）取x=y=0则f（0）=2f（0）∴f（0）=0

（2）f（x）是奇函数．其证明如下：
对任意x∈R，取y=-x则f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0即f（-x）=-f（x）
∴f（x）是R上的奇函数

（3）任意取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则x₂=x₁+△x（其中△x＞0）
∴f（x₂）=f（x₁+△x）=f（x₁）+f（△x）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（△x）＞0即f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）是R上的增函数
又∵f（a²-4）+f（2a+1）＜0
∴f（2a+1）＜-f（a²-4）=f（4-a²）
∴2a+1＜4-a²即a²+2a-3＜0
∴-3＜a＜1

点评：抽象函数求值问题的方法就是赋值．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法．抽象函数解不等式应利用函数的单调性及奇偶性来解决．