Question

某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元，已知该厂在制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p=

3x

4x+32

(x∈N*)．
（1）求该厂的日盈利额T（元）用日产量x（件）表示的函数；
（2）为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少？

Answer 1

分析：（1）因为该厂的日产量为x，则其次品数为px=

3x2

4x+32

，正品数为(1-p)x=

x2+32x

4x+32

，由此能求出该厂的日盈利额T（元）用日产量x（件）表示的函数．
（2）由T=

-25x2+1600x

x+8

，利用导数知识能求出为获最大盈利，该厂的日产量．

解答：（本小题满分13分）
解：（1）因为该厂的日产量为x，
则其次品数为px=

3x2

4x+32

，正品数为(1-p)x=

x2+32x

4x+32

，
根据题意得T=200×

x2+32x

4x+32

-100×

3x2

4x+32

，
化简整理得T=

-25x2+1600x

x+8

．
（2）∵T=

-25x2+1600x

x+8

，
∴T′=

(-50x+1600)(x+8)-(-25x2+1600x)

(x+8)2

=-25×

x2+16x-64×8

(x+8)2

=-25×

(x+32)(x-16)

(x+8)2

，
当0＜x＜16时，T'＞0；当x＞16时，T'＜0．
所以x=16时，T有最大值，即T_max=T（16）=800元．
答：（1）该厂的日盈利额T=

-25x2+1600x

x+8

，x∈N^*；
（2）为获最大盈利，该厂的日产量应定为16件．

点评：本题考查导数知识在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．