Question

已知函数的图象过坐标原点,

且在点处的切线的斜率是.

（Ⅰ）求实数的值；   

（Ⅱ）求在区间上的最大值；

(Ⅲ) 对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以为

直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，则。

依题意得：，即         

解得                                        ……2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①当时，，

令得

当变化时，的变化情况如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

又，，。∴在上的最大值为2. …4分

② 当时, .若时, ,最大值为0；

若时, 在上单调递增。∴在最大值为。   …6分

综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

当时，即时，在区间上的最大值为。  …7分

 (Ⅲ) 假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设，则，显然

∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

即    （*）                        …………9分

若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

若，则代入（*）式得：

即，而此方程无解，因此。此时，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，则

∴在上单调递增，  ∵     ∴,

∴的取值范围是。                   …………………….11分

∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为

直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上。…………………….12分