Question

把“杨辉三角形”向左对齐如图所示，分别按图中虚线，由右上至左下把划到的数相加，其和写在虚线左下端点（左边竖线的左侧）处，把这些和由上至下排列得一个数列{a_n}．
（1）观察数列{a_n}，写出一个你能发现的递推公式（不必证明）；
（2）设（a_n+2-Aa_n+1）=B（a_n+1-Aa_n），求A，B的值，并求a_n．

Answer 1

分析：（1）利用题设条件，先分别求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，从中寻找规律，能够发现递推公式．
（2）利用多项式恒等解方程组，能够求出A，B的值，并能求出a_n．

解答：解：（1）a1=

C

0 0

=1，a2

=C

0 1

=1，
a3=

C

0 2

+C

1 1

=2=a₁+a₂，
a₄=

C

0 3

+

C

1 2

=3=a₂+a₃，
a₅=

C

0 4

+

C

1 3

+

C

2 2

=5=a₃+a₄，
…
∴a_n+2=a_n+a_n+1，（n∈N^*）．
故a₁=a₂，a_n+2=a_n+a_n+1，（n∈N^*）．
（2）∵（a_n+2-Aa_n+1）=B（a_n+1-Aa_n），
a_n+2=a_n+a_n+1，
∴按照多项式恒等定理，有 A+B=1，AB=-1，
因此A，B是一元二次方程x²-x-1=0的两根，
解得A=

1- 5

2

，B=

1+ 5

2

，或A=

1+ 5

2

，B=

1- 5

2

．
∴a_n=

1

5

[（

1+ 5

2

）ⁿ-（

1- 5

2

）ⁿ]，n∈N^*．

点评：本题考查数列的递推公式的求法，解题时要认真审题，仔细观察，注意多项式恒等定理的灵活运用．