Question

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N*，S_n是a_n²和a_n的等差中项．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式S_n-1005＞

a 2 n

2

恒成立，求这样的正整数m共有多少个？

Answer 1

分析：（Ⅰ）当n=1时求得a₁；当n≥2时根据2a_n=2S_n-2S_n-1化简整理得a_n-a_n-1=1判断数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
（Ⅱ）把（Ⅰ）求得的a_n代入S_n进而可根据裂项法进行求和得

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=2（1-

1

n+1

）＜2；原式得证．
（Ⅲ）S_n-1005＞

a 2 n

2

，求得n的范围．进而可得集合M，依据m∈M，所以m=2010，2012，，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列，进而求得k

解答：解：（Ⅰ）由已知，2S_n=a_n²+a_n，且a_n＞0．，当n=1时，2a₁=a₁²+a₁，解得a₁=1．
当n≥2时，有2S_n-1=a_n-1²+a_n-1．于是2S_n-2S_n-1=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1，即2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1
．于是a_n²-a_n-1²=a_n+a_n-1，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=a_n+a_n-1．
因为a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=1（n≥2）．
故数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，且a_n=n．
（Ⅱ）因为a_n=n，则S_n=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）．
所以

1

S1

+

1

S2

++

1

Sn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）++（

1

n

-

1

n+1

）]=2（1-

1

n+1

）＜2；
（Ⅲ）由S_n-1005＞

a 2 n

2

，得

n(n+1)

2

-1005＞

n2

2

，即

n

2

＞1005，所以n＞2010．
由题设，M={2000，2002，，2008，2010，2012，，2998}，
因为m∈M，所以m=2010，2012，，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列．
设这个等差数列共有k项，则2010+2（k-1）=2998，
解得k=495．
故集合M中满足条件的正整数m共有495个．

点评：本题主要考查等差数列的性质特别是等差数列的通项公式．考查了学生分析问题和解决问题的能力．