Question

已知函数f（x）=mx²-x+lnx．
（1）当m=-1时，求f（x）的最大值；
（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求m的取值范围；
（3）当m＞0时，若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与C有且只有一个公共点，求m的值．

Answer 1

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最大值；
（2）在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，等价于2mx²-x+1＜0在（0，+∞）上有解，分类讨论，可求m的取值范围；
（3）求出切线方程为y-m+1=2m（x-1），即y=2mx-m-1，从而方程mx²-x+lnx=2mx-m-1在（0，+∞）上只有一解，分类讨论，可求m的值．

解答：解：（1）当m=-1时，f（x）=-x²-x+lnx，
所以f′（x）=-2x-1+

1

x

=-

(2x-1)(x+1)

x

，
所以当0＜x＜

1

2

，f′（x）＞0，当x＞

1

2

，f′（x）＜0，
因此当x=

1

2

时，f（x）_max=f（

1

2

）=-

3

4

-ln2．（3分）
（2）f′（x）=2mx-1+

1

x

=

2mx2-x+1

x

，
即2mx²-x+1＜0在（0，+∞）上有解．
①m≤0显然成立；
②m＞0时，由于对称轴x=

1

4m

＞0，故△=1-8m＞0，所以m＜

1

8

，
综上，m＜

1

8

．（8分）
（3）因为f（1）=m-1，f′（1）=2m，所以切线方程为y-m+1=2m（x-1），即y=2mx-m-1，
从而方程mx²-x+lnx=2mx-m-1在（0，+∞）上只有一解．
令g（x）=mx²-x+lnx-2mx+m+1，则g′（x）=2mx-1-2m+

1

x

=

2mx2-x-2mx+1

x

=

(2mx-1)(x-1)

x

（10分）
所以1°m=

1

2

，g′（x）≥0，所以y=g（x）在x∈（0，+∞）单调递增，且g（1）=0，所以mx²-x+lnx=2mx-m-1只有一解．（12分）
2°0＜m＜

1

2

，x∈（0，1），g′（x）＞0；x∈（1，

1

2m

），g′（x）＜0；x∈（

1

2m

，+∞）），g′（x）＞0，
由g（1）=0及函数单调性可知g（

1

2m

）＜0，
因为g（x）=mx[x-（2+

1

m

）]+m+lnx+1，取x=2+

1

m

，则g（2+

1

m

）＞0．
因此在（

1

2m

，+∞）），方程mx²-x+lnx=2mx-m-1必有一解，从而不符题意（14分）
3°m＞

1

2

，x∈（0，

1

2m

），g′（x）＞0；x∈（

1

2m

，1）），g′（x）＜0；x∈（1，+∞），g′（x）＞0，
同理在（0，

1

2m

），方程mx²-x+lnx=2mx-m-1必有一解，从而不符题意．（16分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．