Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间；
（3）若n为正整数，证明：10f( n )•( 

4

5

 )g( n )＜4．

Answer 1

分析：（1）由题意知，f（0）=g（0），解出a的值．
（2）分类讨论的方法化简f（x）+g（x）的解析式，再求出他们的单调增区间．
（3）把不等式的左边看成是一个数列，分析此数列的变化规律是c₁≤c₂≤c₃≤c₄，而c₄＞c₅＞c₆＞…，故左边的最大值是c₄，而c₄＜4，不等式得到证明．

解答：解：（1）由题意，f（0）=g（0），
|a|=1又a＞0，
所以a=1．
（2）f（x）+g（x）=|x-1|+x²+2x+1
当x≥1时，f（x）+g（x）=x²+3x，它在[1，+∞）上单调递增；
当x＜1时，f（x）+g（x）=x²+x+2，它在[ -

1

2

， 1 )上单调递增．
（3）设cn=10f( n )•( 

4

5

 )g( n )，考查数列{c_n}的变化规律：
解不等式

cn+1

cn

＜1，由c_n＞0，上式化为10•( 

4

5

 )2n+3＜1
解得n＞

1

2lg0.8

-

3

2

≈3.7，因n∈N得n≥4，于是，c₁≤c₂≤c₃≤c₄，而c₄＞c₅＞c₆＞…
所以，10f( n )•( 

4

5

 )g( n )≤10f( 4 )•( 

4

5

 )g( 4 )=103•( 

4

5

 )25＜4．

点评：本题考查函数的单调性和单调区间，及不等式的证明．