【题目】已知点,椭圆的长轴长是短轴长的2倍,是椭圆的右焦点,直线的斜率为,为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的动直线与椭圆相交于两点.当的面积最大时,求直线的方程.
【答案】(1) .(2) 或.
【解析】试题分析:(1)由条件知a=2b,,又,可得a,b,故得到E的方程;
(2)设出直线l的方程和点P的坐标,联立直线l与椭圆方程,当判别式大于0时,根据韦达定理得根与系数的关系得到的长。根据点到直线距离公式代入面积中,得到其关于k的表达式,根据换元法和基本不等式即可得到当面积取得最大值时k的值,即求得l的方程.
试题解析:(1) 设F(c,0),由条件知a=2b,得,又,
所以a=2, ,故的方程.
(2)依题意当轴不合题意,故设直线l:y=kx-2,设
将y=kx-2代入,得,
当,即时,,
从而,
又点O到直线PQ的距离,所以OPQ的面积
,
设,则t>0,,
当且仅当,等号成立,且满足,
所以当OPQ的面积最大时,
的方程为: 或.
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【题目】已知坐标平面上点与两个定点, 的距离之比等于5.
(1)求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记(1)中的轨迹为,过点的直线被所截得的线段的长为8,求直线的方程.
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【题目】如图 1,在直角梯形中, ,且.现以为一边向形外作正方形,然后沿边将正方形翻折,使平面与平面垂直, 为的中点,如图 2.
(1)求证: 平面;
(2)求证: 平面;
(3)求点到平面的距离.
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【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率,且椭圆经过点,过椭圆的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于, 两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设线段的垂直平分线与轴交于点,求△的面积的取值范围.
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【题目】已知四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为直角梯形,CD⊥平面ABC,侧面ABC是等腰直角三角形,∠EBC=∠ABC=90°,BC=CD=2BE=2,点M是棱AD的中点
(I)证明:平面AED⊥平面ACD;
(Ⅱ)求锐二面角B-CM-A的余弦值
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【题目】从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得=80, =20, =184, =720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a;
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.
附:线性回归方程y=bx+a中, ,a=-b,其中, 为样本平均值.
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【题目】已知正项等比数列{an}(n∈N*),首项a1=3,前n项和为Sn,且S3+a3、S5+a5,S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{nan}的前n项和为Tn,若对任意正整数n,都有Tn∈[a,b],求b-a的最小值.
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