Question

设函数，
（1）证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1；
（2）点P （x，y） （0＜x＜1 ）在曲线y=f（x）上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式（用x表达）．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）中含有绝对值，按x≥1和x＜1两段去绝对值，易判f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是单调函数，
由f（a）=f（b）可得a＜1，b＞1，代入f（x）中可得a和b的关系．
（2）曲线在点P处的切线斜率为f′（x），由点斜式写出切线方程，分别令x=0和y=0求出切线与两坐标轴的交点，
再用三角形面积公式求面积．
解答：证明：（I）∵
故f（x）在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0＜a＜b且f（a）=f（b）得0＜a＜1＜b和
故
（II）0＜x＜1时，
曲线y=f（x）在点P（x，y）处的切线方程为：
∴切线与x轴、y轴正向的交点为
故所求三角形面积听表达式为：
点评：本题考查含有绝对值的函数问题、基本不等式、导数、切线等知识，综合性强，考查对知识的运用能力．