Question

容器A内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1升进入B内，再将B内的盐水倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的盐水的质量分数分别为a_n，b_n，
（ I）问至少操作多少次，A、B两容器内的盐水浓度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771）
（Ⅱ）求a_n、b_n的表达式，并求

lim

n→∞

an与

lim

n→∞

bn的值．

Answer 1

分析：（ I）先根据条件求出b1=

1

5

(

1

5

+4×

1

20

)=

2

25

，a1=

1

6

(

2

25

+5×

1

5

)=

9

50

以及bn+1=

an+4bn

5

，an+1=

1

6

(5an+bn+1)=

26an+4bn

30

；进而得到两种容器内的盐水浓度的差b_n-a_n的规律，再结合盐水浓度之差小于1%，借助于对数的性质解不等式即可求出答案．
（Ⅱ）先根据bn+1=

1

5

[bn+

1

10

×(

2

3

)n-1+4bn]得到bn+1-bn=

3

100

×(

2

3

)n进而求出b_n的通项以及a_n的表达式，进而得到

lim

n→∞

an与

lim

n→∞

bn的值．

解答：解：（ I）∵b1=

1

5

(

1

5

+4×

1

20

)=

2

25

，a1=

1

6

(

2

25

+5×

1

5

)=

9

50

；
bn+1=

an+4bn

5

，an+1=

1

6

(5an+bn+1)=

26an+4bn

30

；
∴an+1-bn+1=

2

3

(an-bn)，
∴{an-bn}是q=

2

3

的等比数列，
∴an-bn=

1

10

×(

2

3

)n-1＜

1

100

，
∴n-1＞log

2

3

1

10

=

1

lg3-lg2

≈5.7，
∴n≥7，故至少操作7次；
（Ⅱ）∵bn+1=

1

5

[bn+

1

10

×(

2

3

)n-1+4bn]，
∴bn+1-bn=

3

100

×(

2

3

)n
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=

2

25

+

3

100

×[

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-1]=-

3

100

×(

2

3

)n+

7

50

，
而an=bn+

1

10

×(

2

3

)n-1=

3

50

×(

2

3

)n+

7

50

；
∴

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

bn=

7

50

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．解决本题第一问的关键在于根据题意找到两种容器内的盐水浓度的差b_n-a_n的规律．