Question

（2010•宿州三模）已知离心率为

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为E，直线EF截圆x²+y²=1所得弦长为

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过D（-2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，

AB

=2

AM

．试探究

|MD|

|MA|

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由e=

2

2

，得c=b，直线EF的方程为：x-y=-b，由题意原点O 到直线EF的距离为

2

2

，知b=1，a²=2，由此能求出椭圆C的方程．
（2）若直线l∥x轴，则A、B分别是长轴的两个端点，M在原点O处，

|MD|

|MA|

=

2

；若直线l与x轴不平行时，设直线l的方程为：x=my-2，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、M（x₀，y₀），由

x2+2y2=2 x=my-2

得：（m²+2）y²-4my+2=0，由△=（-4m）²-8（m²+2）＞0，知m²＞2，y0=

y1+y2

2

=

2m

m2+1

，由此能推导出

|MD|

|MA|

∈[

2

，+∞)．

解答：解：（1）由e=

2

2

，得c=b，直线EF的方程为：x-y=-b，
由题意原点O 到直线EF的距离为

2

2

，
∴

|b|

2

=

2

2

，
∴b=1，a²=2，
∴椭圆C的方程是：

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）①若直线l∥x轴，则A、B分别是长轴的两个端点，M在原点O处，
∴|

MD

|=2，|

MA

|=

2

，
∴

|MD|

|MA|

=

2

．…（6分）
②若直线l与x轴不平行时，
设直线l的方程为：x=my-2，
并设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、M（x₀，y₀），
则

x2+2y2=2 x=my-2

，
得：（m²+2）y²-4my+2=0，（*）                          …（8分）
∵△=（-4m）²-8（m²+2）＞0，
∴m²＞2，
由（*）式得y0=

y1+y2

2

=

2m

m2+1

，
∴

|MD|

|MA|

=

|y0-yD|

|y0-y1|

=

|y0-yD|

1 2 |y1-y2|

=

2|m| m2+2

2 m2-2 m2+2

=

2 |m|

m2-2

=

2

1- 2 m2

，
∵m²＞2，
∴

1- 2 m2

∈(0，1)，
∴

|MD|

|MA|

∈(

2

，+∞)
综上，

|MD|

|MA|

∈[

2

，+∞)．…（14分）

点评：本题考查直线和椭圆的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是探究

|MD|

|MA|

的取值范围时因能力欠缺导致出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意提高解题能力．