Question

19．椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的点P与点Q（0，-2）的距离的最大值为$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 由椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，设点P（2cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π）），可得|PQ|=$\sqrt{4co{s}^{2}θ+（sinθ+2）^{2}}$=$\sqrt{-3（sinθ-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{28}{3}}$，即可得出．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，设点P（2cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π）），
则|PQ|=$\sqrt{4co{s}^{2}θ+（sinθ+2）^{2}}$=$\sqrt{-3si{n}^{2}θ+4sinθ+8}$=$\sqrt{-3（sinθ-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{28}{3}}$≤$\sqrt{\frac{28}{3}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．
∴点P与点Q（0，-2）的距离的最大值为$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆参数方程及其性质、两点之间的距离公式、二次函数的单调性、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．