Question

给出下列四个函数①f（x）=x²+1； ②f（x）=lnx；③f（x）=e^-x；④f（x）=sinx．其中满足：“对任意x₁，x₂∈（1，2）（x₁≠x₂），|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|总成立”的是

 

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Answer 1

分析：设过（x₁，y₁），（x₂，y₂）的直线的斜率为k，由题意可得|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|?|k|＜1，根据各函数在（1，2）的图象上任意两点的连线的斜率的绝对值的范围进行判断．

解答：解：设过（x₁，y₁），（x₂，y₂）的直线的斜率为k，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|?|k|＜1
①f（x）=x²+1，对任意x₁，x₂∈（1，2）（x₁≠x₂），2＜k＜4不符合条件，故①错误
②f（x）=lnx，对任意x₁，x₂∈（1，2）（x₁≠x₂），

1

2

＜k＜1，故②正确
③f（x）=e^-x，任意x₁，x₂∈（1，2）（x₁≠x₂），

1

e2

＜|k|＜

1

e

＜1，③正确
④f（x）=sinx．对任意x₁，x₂∈（1，2）（x₁≠x₂），|cos2|＜|k|＜cos1＜1，④正确
故答案为：②③③④

点评：解决本题的关键是|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|?|k|＜1的转化，而斜率的求解可以考虑跟导数相联系，体现了转化思想在解题中的应用．