【题目】如图,在直三棱柱中,
,
,点
为棱
的中点,点
为线段
上一动点.
(Ⅰ)求证:当点为线段
的中点时,
平面
;
(Ⅱ)设,试问:是否存在实数
,使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
?若存在,求出这个实数
;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(2)或
【解析】试题分析:
(Ⅰ)连、
,由题意可证得
.又在
平面
,从而可得
平面
.(Ⅱ)由题意可建立空间直角坐标系
,结合条件可得
,从而可得平面
的法向量
,同理可得平面
的法向量
,根据
解得
或
,故存在实数满足条件.
试题解析:
(Ⅰ)证明:连、
,
∵点为线段
的中点,
∴、
、
三点共线.
∵点、
分别为
和
的中点,
∴.
在直三棱柱中,
,
∴平面
,
∴,
又,
∴四边形为正方形,
∴,
∵、
平面
,
∴平面
,
而,
∴平面
.
(Ⅱ)解:以为原点,分别以
、
、
为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系,
连接、
,设
,
∵,
∴,
∴,∴
.
∵点在线段
上运动,
∴平面的法向量即为平面
的法向量,
设平面的法向量为
,
由得
,令
得
,
设平面的法向量为
,
由得
,
令得
,取
,
由题意得|
,
∴,
解得或
.
∴当或
时,平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
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【题目】如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱AB,CC1的中点,△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动,有以下四个命题:
①平面MB1P⊥ND1;
②平面MB1P⊥平面ND1A1;
③△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值;
④△MB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形.
其中正确的命题序号是( )
A. ①B. ②③
C. ①③D. ②④
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【题目】(本小题满分12分)已知函数
(1)若直线过点
,并且与曲线
相切,求直线
的方程;
(2)设函数在
上有且只有一个零点,求
的取值范围。(其中
为自然对数的底数)
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【题目】我国年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注,受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为
,女性观众认为《流浪地球》好看的概率为
.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了
名观众(其中
男
女).
(1)求这名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率;
(2)设表示这
名观众中认为《流浪地球》好看的人数,求
的分布列.
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【题目】已知倾斜角为的直线经过抛物线
:
的焦点
,与抛物线
相交于
、
两点,且
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点的两条直线
、
分别交抛物线
于点
、
和
、
,线段
和
的中点分别为
、
.如果直线
与
的倾斜角互余,求证:直线
经过一定点.
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【题目】如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都大于2,则称这个数列为“阿当数列”.
(1)若数列为“阿当数列”,且
,
,
,求实数
的取值范围;
(2)是否存在首项为1的等差数列为“阿当数列”,且其前
项和
满足
?若存在,请求出
的通项公式;若不存在,请说明理由.
(3)已知等比数列的每一项均为正整数,且
为“阿当数列”,
,
,当数列
不是“阿当数列”时,试判断数列
是否为“阿当数列”,并说明理由.
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【题目】有穷数列中的每一项都是-1,0,1这三个数中的某一个数,
,且
,则有穷数列
中值为0的项数是( )
A. 1000B. 1010C. 1015D. 1030
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