Question

已知等比数{a_n}，a₁=1，a₄=8，在a_n与a_n+1两项之间依次插入2^n-1个正整数，得到数列{b_n}，即a₁，1，a₂，2，3，a₃，4，5，6，7，a₄，8，9，10，11，12，13，14，15，a₅，…则数列{b_n}的前2013项之和S₂₀₁₃=______（用数字作答）．

Answer 1

在数列{b_n}中，到a_n项共有=n+（1+2+…+2^n-2）=n+

1×(2n-1-1)

2-1

=2^n-1+n-1项，即为f（n）（n≥2）．
则f（11）=2¹⁰+11-1=1034，f（12）=2¹¹+12-1=2059．
设等比数{a_n}的公比为q，由a₁=1，a₄=8，得1×q³=8，解得q=2，
因此S₂₀₁₃=a₁+a₂+…+a₁₀+a₁₁+1+2+3+…+2002=

1×(211-1)

2-1

+

2002×(1+2002)

2

=2007050．
故答案为2007050．