Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点（0，1），且离心率为

3

2

，A、B为椭圆C的左、右顶点．
（1）求椭圆C的方程：
（2）设点P（x₀，y₀）是椭圆C上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连结AQ并延长交过点B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．
（i）求证：点Q在以AB为直径的圆O上；
（ii）求证：OQ⊥NQ．

Answer 1

分析：（1）由椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点（0，1），且离心率为

3

2

，可得

b=1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得即可；
（II）（i）由于点P（x₀，y₀）是椭圆C上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，可得H（x₀，0），Q（x₀，2y₀），

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，得到4

y

2 0

=4-

x

2 0

．只要证明

AQ

•

BQ

=0即可；
（ii）由（i）可得直线AQ：y=

2y0

x0+2

(x+2)，令x=2，解得y_D=

8y0

x0+2

，即可得到点D，N．只要证明

OQ

•

NQ

=0．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点（0，1），且离心率为

3

2

，∴

b=1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1，c=

3

．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）（i）如图所示，∵点P（x₀，y₀）是椭圆C上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，
∴H（x₀，0），Q（x₀，2y₀），

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，得到4

y

2 0

=4-

x

2 0

．
∵A（-2，0），B（2，0）．
∴

AQ

•

BQ

=（x₀+2，2y₀）•（x₀-2，2y₀）=

x

2 0

-4+4

y

2 0

=

x

2 0

-4+4-

x

2 0

=0，
∴AQ⊥BQ．
（ii）由（i）可得直线AQ：y=

2y0

x0+2

(x+2)，令x=2，解得y_D=

8y0

x0+2

，
∴D(2，

8y0

x0+2

)，∴N(2，

4y0

x0+2

)．
∴

OQ

•

NQ

=（x₀，2y₀）•(x0-2，

2x0y0

x0+2

)=x0(x0-2)+

4 y 2 0 x0

x0+2

=

x0( x 2 0 -4)+x0(4- x 2 0 )

x0+2

=0，
∴OQ⊥NQ．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中档坐标公式、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．