Question

【题目】已知函数f（x）=axlnx﹣x+l （a∈R），且f（x）≥0．

（I）求a；

（ II）求证：当，n∈N*时，

Answer 1

【答案】（1）1（2）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，问题转化为，令，求出的最小值，求出的值即可；（Ⅱ）由恒成立．令，根据取值累加即可.

试题解析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．

若a＜0，f（2）=2aln2﹣1＜0，与已知矛盾．…

若a=0，则f（x）=﹣x+1，显然不满足在（0，+∞）上f（x）≥0恒成立．…

若a＞0，对f（x）求导可得f'（x）=alnx+a﹣1．

由f'（x）＞0解得，由f'（x）＜0解得0＜，

∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

∴f（x）min==1﹣a． …

∴要使f（x）≥0恒成立，则须使1﹣a≥0成立，即≤恒成立．

两边取对数得，≤ln，整理得lna+﹣1≤0，即须此式成立．

令g（a）=lna+﹣1，则，

显然当0＜a＜1时，g'（a）＜0，当a＞1时，g'（a）＞0，

于是函数g（a）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增，

∴g（a）min=g（1）=0，

即当且仅当a=1时，f（x）min=f（1）=0，f（x）≥0恒成立，

∴a=1满足条件．

综上，a=1．…

（Ⅱ）由（Ⅰ）知x＞1时，xlnx﹣x+1＞0，即lnx＞恒成立．

令（n∈N*），即＞，

即，…

同理，，

，…，

，

，…

将上式左右相加得：

==ln4．=2ln2…