Question

关于以下命题：
（1）函数y=log₂（|x|-1）值域是R
（2）等比数列{a_n}的前n项和是S_n（n∈N^*），则S_k，S_2k-S_K，S_3k-S_2K（k∈N^*）是等比数列．
（3）在平面内，到两个定点的距离之比为定值a（a＞0）的点的轨迹是圆．
（4）函数y=f（a-x）与y=f（x+a）图象关于直线x=a对称．
（5）命题“f（x）•g（x）=0的解集是f（x）=0或g（x）=0解集的并集”逆命题是假命题．
其中真命题的序号是：

（1）（5）

．

Answer 1

分析：根据真数的取值范围，可求出函数y=log₂（|x|-1）值域，从而可判定（1）的真假，
若{a_n}是公比为-1的等比数列时，进行判定（2）的真假，
当a=1时，可判定（3）的真假，
根据函数y=f（a+x）与函数y=f（b-x）的图象关于直线x=

b-a

2

对称，可判定（4）的真假；
写出命题的逆命题，然后判定（5）的真假即可．

解答：解：因为|x|-1能取遍一切正实数，所以函数y=log₂（|x|-1）值域是R，故（1）正确；
若{a_n}是公比为-1的等比数列，当S_k=0时则S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k（k为常数且k∈N）不是等比数列，故（2）错误；
设两定点分别为A（m，n），B（c，d），设所求点为（x，y），由题设条件知：

(x-m)2+(y-n)2

(x-c)2+(y-d)2

=a，
当a=1时，（2c-2m）x+（2d-2n）y+m²+n²-c²-d²=0，此时点的轨迹是直线，故（3）错误．
函数y=f（a+x）与函数y=f（b-x）的图象关于直线x=

b-a

2

对称，则函数y=f（a-x）与y=f（x+a）图象关于直线x=0对称，故（4）错误；
命题“f（x）•g（x）=0的解集是f（x）=0或g（x）=0解集的并集”逆命题是“f（x）=0或g（x）=0的解集的并集是f（x）•g（x）=0的解集”，设f（x）=x，g（x）=

x-1

x2

，当f（x）=0，x=0，g（x）=0时，x=1，则f（x）=0或g（x）=0解集的并集为x=0或x=1，而“f（x）•g（x）=0的解集只能为x=1，是假命题，故（5）正确；
故答案为：（1）（5）

点评：本题主要考查了命题的真假判断与应用，以及函数的值域、数列、函数的对称性等有关知识，是一综合性题目．