Question

6．设a是实数，f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（x∈R）．
（1）证明：f（x）是增函数；
（2）是否存在实数a，使函数f（x）为奇函数？

Answer 1

分析 （1）运用单调性的定义，设值、作差、变形和定符号、下结论等；
（2）运用定义法，若f（x）为奇函数，可得f（-x）+f（x）=0，化简整理，解方程即可得到a的值．

解答 解：（1）证明：设m＜n，
则f（m）-f（n）=a-$\frac{2}{{2}^{m}+1}$-（a-$\frac{2}{{2}^{n}+1}$）
=$\frac{2（{2}^{m}-{2}^{n}）}{（{2}^{m}+1）（{2}^{n}+1）}$，
由m＜n，可得2^m＜2ⁿ，则（2^m+1）（2ⁿ+1）＞0，2^m-2ⁿ＜0．
即有f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n），
则f（x）在R上为增函数；
（2）存在实数a=1，使函数f（x）为奇函数．
若f（x）为奇函数，可得f（-x）+f（x）=0，
即有a-$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$+a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=2a-（$\frac{2•{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$）
=2a-2=0，
解得a=1．

点评 本题考查函数的单调性的判断，注意运用定义法，考查存在性问题的解法，注意运用假设法，以及奇函数的定义，考查运算能力，属于中档题．