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18.已知在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+n-1,n∈N*
(1)证明:数列{an+n}是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn

分析 (1)由an+1=2an+n-1,n∈N*.变形为an+1+n+1=2(an+n),n∈N*.即可证明.
(2)由(1)得an+n=2n,利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出.

解答 (1)证明:由an+1=2an+n-1,n∈N*
可得an+1+n+1=2(an+n),n∈N*
又a1+1=2,所以数列{an+n}是以2为首项,以2为公比的等比数列.
(2)解:由(1)得an+n=2n
故an=2n-n,
所以数列{an}的前n项和Sn=$\frac{2({2}^{n}-1)}{2-1}$-$\frac{n(n+1)}{2}$=2n+1-2-$\frac{n(n+1)}{2}$.

点评 本题考查了数列递推关系、通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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