【题目】椭圆的左、右焦点分别为
,右顶点为A,上顶点为B,且满足向量
。
(1)若,求椭圆的标准方程;
(2)设为椭圆上异于顶点的点,以线段PB为直径的圆经过F1,问是否存在过F2的直线与该圆相切?若存在,求出其斜率;若不存在,说明理由。
【答案】(1);(2)存在满足条件的直线,斜率
.
【解析】
(1)由上顶点为B和 ,可以判断出
为等腰直角三角形,可以得
,又右顶点为A,可以求出
,利用
,可以求出
,最后求出椭圆标准方程。
(2)由(1)可知,利用
,可以得出
,椭圆方程可以表示成
,由已知线段PB为直径的圆经过
,设
的坐标为
,可知
,得出一个等式,而
为椭圆上异于顶点的点,又得到一个等式,通过两个等式可以求出
的坐标,也就可以求出圆心坐标和半径。假设存在过F2的直线与该圆相切,通过圆心到切线等于半径,列出等式,如果能求出,就说明存在,求不出,就说明不存在。
(1)易知,因为
,
所以为等腰直角三角形,
所以b=c,由可知
,
故椭圆的标准方程为:;
(2)由已知得,
设椭圆的标准方程为,
的坐标为
,
因为,所以
,
由题意得,所以
,
又因为在椭圆上,所以
,由以上两式可得
,
因为不是椭圆的顶点,所以
,故
,
设圆心为,则
,
圆的半径
假设存在过的直线满足题设条件,并设该直线的方程为
,
由相切可知,所以
,
即,解得
故存在满足条件的直线。
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在棱长为2的正方体中,点M是对角线
上的点(点M与A、
不重合),则下列结论正确的个数为( )
①存在点M,使得平面平面
;
②存在点M,使得平面
;
③若的面积为S,则
;
④若、
分别是
在平面
与平面
的正投影的面积,则存在点M,使得
.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若=(
,
),
=(
,
),设
.
(1)求函数在[0,π]上的单调减区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,
,求sinB的值.
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