Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是底面边长为1的正四棱柱，高AA₁=2，求
（1）异面直线BD 与AB₁ 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）四面体AB₁D₁C 的体积．

Answer 1

分析：（1）根据题意知DC₁∥AB₁∴∠BDC₁就是异面直线BD 与AB₁ 所成角，解三角形即可求得结果．
（2）V_A-B1D1C=V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B1-ABC-V_D1-ACD-V_DA1C1D1-V_B-A1B1C1，
而V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B1-ABC-V_D1-ACD-V_DA1C1D1-V_B-A1B1C1易求，即可求得四面体AB₁D₁C 的体积．

解答：解：（1）连接DC₁，BC₁，
易知DC₁∥AB₁，
∴∠BDC₁就是异面直线BD 与AB₁ 所成角，
在△BDC₁中，DC₁=BC₁=

5

，BD=

2

，
∴cos∠BDC₁=

2 2

5

=

10

10

，
∴∠BDC₁=arccos

10

10

．

（2）V_A-B1D1C=V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B1-ABC-V_D1-ACD-V_DA1C1D1-V_B-A1B1C1
而V_{ABCD-A1B1C1D1}=S_ABCD•AA₁=1×2=2，
V_B1-ABC=V_D1-ACD=V_DA1C1D1=V_B-A1B1C1=

1

3

×

1

2

×2
∴V_A-B1D1C=2-4×

1

3

×

1

2

×2=

2

3

．

点评：此题是个基础题．考查异面直线所成角和棱锥的体积问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，和利用割补法求棱锥的体积问题，体现了数形结合和转化的思想．