Question

已知幂函数y=xm2-2m-3(x∈N)的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则满足(a+1)-

m

3

＜(3-2a)-

m

3

的a的范围是

（-∞，-1）∪（

2

3

，

3

2

）

．

Answer 1

分析：（1）幂函数y=x^α的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．则必须满足α为偶数且α＜0，由此可得m的值．
（2）根据幂函数y=x^α的单调性，可得a+1＞3-2a＞0，或0＞a+1＞3-2a，或a+1＜0＜3-2a，先求得每个不等式的解集，再取并集．即得所求．

解答：解：∵幂函数y=xm2-2m-3(x∈N)的图象关于y轴对称，故此函数为偶函数，故有m²-2m-3为偶数，
∵函数在（0，+∞）上递减，∴m²-2m-3＜0，即-1＜m＜3，又m∈N*，∴m=1．
∵(a+1)-

m

3

＜(3-2a)-

m

3

，且函数y=x-

1

3

 在（-∞，0），（0，+∞）上都是减函数，
故有 a+1＞3-2a＞0，或0＞a+1＞3-2a，或a+1＜0＜3-2a，
解得a＜-1，或

2

3

＜a＜

3

2

，
故答案为 （-∞，-1）∪（

2

3

，

3

2

）．

点评：幂函数y=x^α，α＜0时则为减函数；α＞0时，幂函数为增函数．要注意α的不同，其定义域是不同的，解不等式时要注意，属于基础题．