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已知点A(1,
1
3
)
是函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象上一点,等比数列an的前n项和为f(n)-c,数列bn(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
(n≥2).
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式.
(2)若数列{
1
bnbn+1
}
的前n项和为Tn,问满足Tn
1000
2011
的最小整数是多少?
(3)若Cn=-
2bn
a n
,求数列Cn的前n项和Pn
分析:解:(1)根据an=[f(n)-c]-[f(n-1)-c]=-
2
3n
求出{an}的通项公式;根据Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
求出{
Sn
}
的通项公式,进而求出Sn,bn的通项公式.
(2)根据bn的通项公式,通过列项相消的方法求出{
1
bnbn+1
}
的前n项和为Tn进而解出n.
(3)先求出Cn的通项公式,然后利用错位相减法求出Cn的前n项和Pn
解答:解:(1)∵点A(1,
1
3
)
是函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象上一点f(1)=a=
1
3

∵等比数列an的前n项和为f(n)-c
∴当n≥2时,an=[f(n)-c]-[f(n-1)-c]=-
2
3n

∵{an}为等比数列
∴公比q=
an
an-1
=
1
3

a2=-
2
9
=a1q=[f(1)-c]•
1
3
=(
1
3
-c)•
1
3

∴c=1,a1=-
2
3
an=-
2
3n
(3分)
由题设可知数列bn(bn>0)的首项为b1=c=1Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
(n≥2)
(
Sn
-
Sn-1
)(
Sn
+
Sn-1
)=
Sn
+
Sn-1

Sn
-
Sn-1
=1

∴数列{
Sn
}
是首项为1,公差为1的等差数列.
Sn
=n,Sn=n2 bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1
当n=1时,b1=1,也满足bn=2n-1
数列{bn }的通项公式.bn=2n-1(6分)
(2)∵bn=2n-1
1
bnbn+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

Tn=
1
b1b2
+
1
b2b3
+
1
b3b4
++
1
bnbn+1
=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]=
n
2n+1

要使Tn
1000
2011

n
2n+1
1000
2011
,即n>90
10
11

∴满足Tn
1000
2011
的最小整数为91(11分)
(3)∵an=-
2
3n
,bn=2n-1
Cn=-
2bn
a n
=(2n-1)•3nPn=1•3+3•32+5•33++(2n-1)•3n
3Pn=1•32+3•33+5•34++(2n-1)•3n+1..②
①-②得:-2Pn=3+2(32+33+34+3n)-(2n-1)•3n+1=3+2•
32(1-3n-1)
1-3
-
(2n-1)•3n+1=(2-2n)•3n+1-6
∴Pn=3+(n-1)•3n+1.(16分)
点评:本题是数列与函数的综合题目,用到了列项相消,错位相减等一些数列的基本方法,综合性比较强,考查点比较全面.
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科目:高中数学 来源: 题型:

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1
3
)是函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象上一点,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,数列{bn}(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
(n≥2).记数列{
1
bnbn+1
}前n项和为Tn
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若对任意正整数n,当m∈[-1,1]时,不等式t2-2mt+
1
2
>Tn恒成立,求实数t的取值范围
(3)是否存在正整数m,n,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出m,n的值,若不存在,说明理由.

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已知点(1,
1
3
)是函数f(x)=ax(a>0且a≠1)图象上的一点,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,数列{bn}(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
(n≥2).
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若数列{
1
bnbn+1
}的前n项和为Tn,问使Tn
1000
2011
的最小正整数n是多少?
(3)若cn=-
1
2
an•bn,求数列{cn}的前n项和.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•奉贤区一模)已知点(1,
13
)是函数f(x)=ax (a>0且,a≠1)的图象上一点,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,求数列{an}的通项公式.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知点A(1,
1
3
)
是函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象上一点,等比数列an的前n项和为f(n)-c,数列bn(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
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1
bnbn+1
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2011
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2bn
a n
,求数列Cn的前n项和Pn

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