Question

如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，宽度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60，问当a，b各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．

Answer 1

答案：略
解析：

解法1：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意，其中k为比例系数(k＞0)．根据题意，得2×2b＋2ab＋2a=60(a＞0，b＞0)． ∴(由a＞0，b＞0，可得a＜30)．∴． 令t=a＋2，则a=t－2． 从而， ∴． 当且仅当，即时取“=”号，∴a=6． 由a=6，可得b=3． 综上所述：当a=6m，b=3m时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小． 解法2：设流出的水中杂质的质量分数为y，依题意，其中k为比例系数，k＞0，要求y的最小值必须求出ab的最大值． 依题设4b＋2ab＋2a=60，即ab＋a＋2b=30(a＞0，b＞0)． ∵(当且仅当a=2b时取“=”号)， ∴，可解得0＜ab≤18． 由a=2b及ab＋a＋2b=30，可得a=6，b=3， 即a=6，b=3时，ab取得最大值，从而y的值最小．

提示：

分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y．由题意y与ab成反比，又设比例系数为k，则．又由于箱体材料多少的限制，a，b之间应有一定的关系式，即2×(2b)＋2ab＋2a=60，因此该题的数学模型是：已知ab＋a＋2b=30，a＞0，b＞0，求：a，b为何值时，最小．